Es una tradición geoestadística ajustar a un variograma experimental un modelo de variograma simple (exponencial, gaussiano, esférico, etc.) que depende de dos parámetros con alto contenido: el sill y el rango. Pero, ¿qué comportamiento seguir si es evidente que el variograma exprimental no responde a estos modelos?

Necesidad de variogramas complejos
En el variograma muestral de la primera figura se ha resaltado un sill en el entorno de 30, un rango entre 50 y 70. y la concavidad positiva en el origen. Ésta última invalida los modelos exponencial y esférico que son cóncavos negativos. Tampoco es lineal; ni gaussiano ya que la tangente en el origen es distinta de 0.

¿Qué modelo proponer?

Propuesta 1: modelos anidados
El software académico más usado, GSLIB, prevé la suma de modelos simples, pero no especifica:

• qué tipo de modelos sumar ¿esférico más exponencial? ¿esferico más gaussiano?
• cómo estimar sus parámetros

Por ejemplo, en la figura que sigue se ha ajustado la suma de un modelo exponencial y uno gaussiano al variograma experimental anterior.

Es claro que la suma de los sill debe ser 30, ¿pero cómo asignar el sill que corresponde a cada modelo?
Por otra parte, ¿qué relación hay entre los rangos de los modelos anidados con el rango entre 50 y 70 del variograma experimental?
El ajuste se realizó por mínimos cuadrados ponderados; No hubiera sido posible intuir el valor de esos cuatro parámetros observando el variograma experimental original.

Una alternativa distinta es ajustar un modelo único de más parámetros.
Propuesta dos: variograma de más parámetros
Un modelo flexible -que contiene como casos particulares a los modelos exponencial y gaussiano- es el modelo Matern de 3 parámetros que además del siil y un parámetro asociado al rango, contiene un parámetro de forma, ν. La figura que sigue muestra una familia de modelos Matern en función del parámetro de forma ν

Entre sus características se tienen:

• ν=0.5 corresponde al modelo exponencial
• ν tendiendo a infinito coresponde al modelo gaussiano
• Si ν < 1 la concavidad es negativa
• Si ν ≥ 1 entonces es concava positiva en el origen y luego es negativa

En el variograma experimental de la figura inicial la concavidad positiva en el origen sugiere que ν es mayor que 1, el sill es 30, y es posible determinar el parámetro asociado al rango. Algunos software de ajuste de modelos de variograma, por ejemplo: http://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/25948-variogramfit, permiten hacer la estimación de los 3 parámetros. La figura siguiente muestra la superposición en azul del variograma Matern estimado.

—

Los parámetros estimados son: sill=30; rango=55 y ν =4. Nótese que el resultado es muy similar al obtenido en la propuesta 1, con menos parámetros y más intuitivo.

¿Le interesa conocer más del variograma Matern?
Vea el siiguiente pdf:
variograma Matern